Аргун Астамур Семенович родился 31 января 1968 г. в г. Гудаута, по национальности абхаз. По окончании Гудаутской средней школы № 2 в 1985 г. трудился в колхозе им. 4 Марта Гудаутского района, где работал с 1 июля 1985 г. по 1 июля 1986 г.

В 1986 г. поступил в Абхазский Государственный университет на экономический факультет по специальности «Экономика и управление в торговле и общественном питании».

С июня 1987 г. по май 1989 г. служил в рядах Советской Армии.

В период Отечественной войны народа Абхазии 1992–1993 гг. принимал участие в боевых действиях.

Завершил учебу в АГУ в 1993 г., присвоена квалификация экономиста.

С 18 октября 1993 г. по 26 мая 1994 г. работал инспектором Сухумпродторга.

В июне 1994 г. принят на работу в центральный аппарат Государственной налоговой службы Республики Абхазия на должность государственного инспектора отдела налогообложения юридических лиц.

В апреле 1995 г. переведен на должность ведущего государственного инспектора отдела налогообложения юридических лиц.

В июне 2001 г. переведен на должность главного инспектора отдела налогообложения юридических лиц.

В феврале 2003 г. назначен на должность начальника инспекции Министерства по налогам и сборам Республики Абхазия по Гулрыпшскому району.

В апреле 2004 г. и в апреле 2006 г. приказами МНС РА объявлена благодарность за добросовестное исполнение служебных обязанностей и достигнутые при этом результаты.

В апреле 2009 г. и в апреле 2014 г. награжден Грамотами МНС РА за плодотворную работу в налоговых органах РА.

В апреле 2009 г. присвоен классный чин «Советник налоговой службы 3 класса», в декабре 2009 г. присвоен классный чин «Советник налоговой службы 2 класса».

В июне 2020 г. назначен заместителем начальника инспекции МНС РА по г. Сухум.

В апреле 2021 г. за добросовестное исполнение служебных обязанностей и достигнутые результаты награжден Грамотой МНС РА.

В апреле 2024 г. награжден медалью МНС РА «Ашамта дукаа рзы».

Также в апреле 2024 г. награжден медалью Министерства обороны Республики Абхазия «30 лет Министерству обороны Республики Абхазия».

Женат, отец двоих дочерей.